2020年云南公務(wù)員考試行測技巧：探索《孫子算經(jīng)》之剩余定理

　　《孫子算經(jīng)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)著作。書中有這樣的敘述：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何?”這是我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的雞兔同籠問題，相信大家已經(jīng)能夠輕而易舉的解決了。今天就帶領(lǐng)大家再來看看書中另一段記載，其卷中第26題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?答曰：‘二十三’”。《孫子算經(jīng)》中不但提供了答案，而且還給出了解法。那么，今天就帶著這個(gè)疑問，來學(xué)習(xí)感受一下古人的智慧。

 

　　一、中國剩余定理之由來

 

　　有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問物幾何?即，一個(gè)整數(shù)除以三余二，除以五余三，除以七余二，求這個(gè)整數(shù)。《孫子算經(jīng)》中首次提到了同余方程組問題，以及以上具體問題的解法，因涉及到余數(shù)問題，所以將其稱為中國剩余定理，也稱為孫子定理。

 

　　二、解題思路之探索

 

　　設(shè)這個(gè)整數(shù)為X，則有列式X÷3=Y………2(1)，X÷5=M………3(2)，X÷7=N………2(3)，觀察三個(gè)列式，我們發(fā)現(xiàn)同一個(gè)整數(shù)，除以不同的數(shù)字，余數(shù)有兩式都為2。因此，我們結(jié)合1與3式可以得出，如果沒有余數(shù)，也就是可以先將這個(gè)整數(shù)加了2就可以整除3與7，則可以寫成通式X=21n+2。同時(shí)，這個(gè)整數(shù)滿足2式，當(dāng)n為1時(shí)，X=23，除以5余數(shù)為3，所以，同理最終這個(gè)整數(shù)X是23的整數(shù)倍數(shù)字即可，則符合題意最小的整數(shù)值為23。

 

　　到此，我們就把這道題目解決了，中國剩余定理就是求解同余式組的方法解題。那么，古人還總結(jié)了規(guī)律特征，接下來我們一起來深入了解，并學(xué)習(xí)鞏固該解題思路。

 

　　三、特殊模型及方法

 

　　(1)余同加余

 

　　如果兩個(gè)除式的被除數(shù)相同，余數(shù)相同，那么這個(gè)被除數(shù)的值等于兩個(gè)除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)加余數(shù)。例如，X÷3=………1，X÷4=………1，則X=12n+1。

 

　　(2)和同加和

 

　　如果兩個(gè)除式的被除數(shù)相同，除數(shù)與余數(shù)的和相同，那么這個(gè)被除數(shù)的值等于兩個(gè)除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)加上除數(shù)與余數(shù)的和。例如，X÷3=………2，X÷4=………1，兩個(gè)列式的相同余數(shù)可以是5(商的值小1，余數(shù)就加一個(gè)除數(shù))，像5這樣的數(shù)字是廣義上的余數(shù)，我們叫做同余余數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為模型1余數(shù)相同的情況，所以X表示為12n+5。

 

　　(3)差同減差

 

　　如果兩個(gè)除式的被除數(shù)相同，除數(shù)與余數(shù)的差相同，那么這個(gè)被除數(shù)的值等于兩個(gè)除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)減去除數(shù)與余數(shù)的差。例如，X÷3=………1，X÷4=………2，兩個(gè)列式的相同余數(shù)可以是-2(商的值大1，余數(shù)就減去一個(gè)除數(shù))，從而又轉(zhuǎn)化為模型1余數(shù)相同的情況，因此X表示為12n-2。

 

　　總結(jié)出的三個(gè)基本模型幫助我們解題，大家一定在理解的基礎(chǔ)上記住規(guī)則，這樣可以更快速的解題。那么，對于有的題目不能運(yùn)用以上三個(gè)模型的時(shí)候，我們還有更為通用的方法，逐步滿足法，一起來看吧。

 

　　解題步驟：先滿足一個(gè)條件，再滿足另一個(gè)條件，直到滿足所有條件。

 

　　例題1：一個(gè)數(shù)，除以5余1，除以3余2。問這個(gè)數(shù)最小是多少?

 

　　【解析】觀察特征，并不是三類模型的題目，所以采用逐步滿足。把除以5余1的數(shù)從小到大排列：1，6，11，16等等。然后從小到大找到除以3余2的數(shù)值，發(fā)現(xiàn)最小的數(shù)是11。

 

　　例題2：一個(gè)班學(xué)生分組做游戲，如果每組三人就多兩人，每組五人就多三人，每組七人就多四人，問這個(gè)班最少有多少名學(xué)生?

 

　　【解析】我們把題目整理為，一個(gè)整數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余4。沒有同余的情況，采用逐步滿足法，就是從除7余4的數(shù)，例如4，11，18，25等等，這些數(shù)字中找出符合除以5余3的數(shù)值，就是再4上一直加7，直到數(shù)值除5余3，得出該數(shù)為18。接下來只要在18上一直加7和5得最小公倍數(shù)35，例如53，88，123等等，這些數(shù)值中找出滿足除以3余2的數(shù)值，符合所有條件的最小數(shù)字為53，因此該題答案為53人。